सिसैरा-संकलन

गणितीय विश्लेषण में, सिसैरो संकलन सामान्य अर्थों में अभिसरण नहीं करने वाले अनन्त संकलन को मान निर्दिष्ट करता है जो मानक संकलन के साथ सन्निपतित होता है यदि वह अभिसारी हो। सिसैरा संकलन श्रेणी के आंशिक संकलन के समान्तर माध्य के सीमान्त मान के रूप में परिभाषित होता है।

सिसैरा-संकलन

सिसैरा संकलन का नामकरण इतालवी विश्लेषक अर्नेस्टो सिसैरा (1859–1906) के सम्मान में रखा गया।

परिभाषा

माना {a_n} एक अनुक्रम है और माना

$s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}$

श्रेणी का kवाँ आंशिक संकलन है

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.$

श्रेणी $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ सिसैरा योग $A\in \mathbb {R}$ के साथ सिसैरा संकलनीय कहलाती है यदि इसके आंशिक संकलनों के योग का माध्य $s_{k}$, $A$ की ओर अग्रसर हो:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}s_{k}=A.$

अन्य शब्दों में, किसी अनन्त श्रेणी का सिसैरा संकलन श्रेणी के प्रथम n आंशिक संकलनों का समान्तर माध्य (औसत) का सीमान्त मान होता है जबकि n अनन्त की ओर अग्रसर हो। यह सिद्ध किया जा सकता है कि अभिसारी श्रेणी सिसैरा संकलनीय होती है और श्रेणी का कुल योग सिसैरा संकलन के समान होता है। हालांकि, निम्नलिखित उदाहरण उल्लिखीत करता है कि श्रेणी अपसारी है लेकिन सिसैरा संकलनीय है।

उदाहरण

माना n ≥ 1 के लिए a_n = (−1)ⁿ⁺¹ है। अर्थात {a_n} एक अनुक्रम है

$1,-1,1,-1,\ldots .\,$

और माना G एक श्रेणी $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=1-1+1-1+1-\cdots$ को निरुपित करता है।

तब आंशिक संकलनों {s_n} $=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ का अनुक्रम निम्नलिखित होगा

$1,0,1,0,\ldots ,\,$

इस श्रेणी G को ग्रांडी श्रेणी के रूप में जाना जाता है जो अभिसारी नहीं है। अन्य रूप में, {s_n} के पदों के (आंशिक) माध्य अनुक्रम {t_n} है जहाँ

$t_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}s_{k}$

निम्न प्रकार हैं

${\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots ,$

अतः

$\lim _{n\to \infty }t_{n}=1/2.$

इसलिए श्रेणी G का सिसैरा संकलन का मान 1/2 है।

अन्य रूप में, माना n ≥ 1 के लिए a_n = n है। अर्थात {a_n} एक अनुक्रम है।

$1,2,3,4,\ldots .\,$

और माना G एक श्रेणी $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=1+2+3+4+5+\cdots$ को निरुपित करता है।

तब {s_n} के आंशिक संकलनों का अनुक्रम

$1,3,6,10,\ldots ,\,$

होगा और G का मान अनन्त की ओर अपसरित होगा।

{tn } के आंशिक संकलनों के माध्य के अनुक्रम के पद निम्न प्रकार होंगे:

${\frac {1}{1}},\,{\frac {4}{2}},\,{\frac {10}{3}},\,{\frac {20}{4}},\,\ldots .$

अतः, यह अनुक्रम G की तरह अनन्त की ओर अपसरण करता है तथा अब G सिसैरा संकलनीय नहीं है।

ये भी देखें

• हाबिल संकलन सूत्र
• अपसरी श्रेणी
• आयलर संकलन
• सिसेरा माध्य
• रीज़ माध्य
• फेजर-प्रमेय
• लैम्बर्ट संकलन

सन्दर्भ

• Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel's Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6.
• तित्चमार्श, एडवर्ड चार्ल्स (1948), फूरिये समाकल सिद्धांत का एक परिचय (Introduction to the theory of Fourier integrals) (2nd संस्करण), न्यूयॉर्क: Chelsea Pub. Co. (प्रकाशित 1986), आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 978-0-8284-0324-5.
• वॉलकॉव, आई॰आई॰ (2001), "सिसैरा संकलन विधि (Cesàro summation methods)", प्रकाशित हेज़विंक्ल, मिच्येल (संपा॰), एन्साइक्लोपीडिया ऑफ़ मैथमैटिक्स, स्प्रिंगर, आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 978-1-55608-010-4
• जयगमुंड, अंटोनी (1968), त्रिकोणमितीय श्रृंखला (Trigonometric series) (2nd संस्करण), कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस (प्रकाशित 1988), आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 978-0-521-35885-9.