रूथ का नियम

चिरसम्मत यांत्रिकी के सन्दर्भ में तनन नियम या स्त्रेच रूल (stretch rule) के अनुसार, किसी दृढ़ पिण्ड का जड़त्वाघूर्ण अपरिवर्तित रहता है यदि उस पिण्ड को घूर्णन-अक्ष के समानान्तर तान दिया जाय। ध्यातव्य है कि तानने की इस प्रक्रिया में घूर्णन-अक्ष के समान्तर कोई बेलनाकार आयतन हो तो वह ततन के बाद भी बेलनाकार ही बना रहेगा, और उसकी त्रिज्या भी पूर्ववत बनी रहेगी।

समान्तर अक्ष के प्रमेय तथा लम्बवत अक्ष के प्रमेय के साथ इस नियम का उपयोग करके भिन्न भिन्न आकार के पिण्डों के जड़त्वाघूर्णों की गणना की जा सकती है।

उपपत्ति

The (scalar) moment of inertia of a rigid body around the z-axis is given by:

$I_{z}=\int _{V}d^{3}r\,\rho (\mathbf {r} )\,r^{2}$

Where $r$ is the distance of a point from the z-axis. We can expand as follows, since we are dealing with stretching over the z-axis only:

$I_{z}=\int _{0}^{L}dz\int _{x,y}dxdy\,\rho (x,y,z)\,r^{2}$

Here, $L$ is the body's height. Stretching the object by a factor of $a$ along the z-axis is equivalent to dividing the mass density by $a$ (meaning $\rho '(x,y,z)=\rho (x,y,z/a)/a$), as well as integrating over new limits $0$ and $aL$ (the new height of the object), thus leaving the total mass unchanged. This means the new moment of inertia will be:

$I_{z}'=\int _{0}^{aL}dz\int _{x,y}dxdy\,\rho '(x,y,z)\,r^{2}$

$=\int _{0}^{L}adz'\int _{x,y}dxdy\,{\frac {\rho (x,y,z/a)}{a}}\,r^{2}$

$=\int _{0}^{L}dz'\int _{x,y}dxdy\,\rho (x,y,z')\,r^{2}=I_{z}$